TABELA TRIGONOMÉTRICA

APLICAÇÃO DA TRIGONOMETRIA

Um exemplo de relação que pode ser modelada por uma função trigonométrica é a variação da pressão nas paredes dos vasos sanguíneos de um certo indivíduo em função do instante de coleta dessa medida. O gráfico indicado abaixo representa uma investigação desse tipo onde se analisa a situação clínica de um paciente, sendo P a pressão nas paredes dos vasos sanguíneos (em milímetros de mercúrio: mmHg) e t o tempo (em segundos). 

Fonte : WWW.profgarcia.xpg.com.br/Aplicacoes_praticas_da_Trigonometria.htm

CURIOSIDADES

• Teodolito

O teodolito é um instrumento utilizado por topógrafos, engenheiros e geólogos para medir ângulos, calcular distâncias, e definir curvas de nível. Basicamente é uma luneta ou telescópio situado sobre um tripé. É composto por partes ópticas e mecânicas. No seu interior, possui prismas e lentes que ao desviar o raio de luz permite uma rápida e simples leitura dos limbos graduados em graus, minutos e segundos.

                                                    

• Ciclo Trigonométrico

Os estudos sobre Trigonometria estão associados à figura do triângulo retângulo e ao ciclo trigonométrico. O ciclo é construído sobre o eixo de coordenadas cartesianas com centro em O, raio unitário e quatro quadrantes. Possui diversos pontos, os quais estão associados a valores de ângulos.

• Trigonometria nas teclas do telefone

Ao clicar em uma tecla do telefone é produzido um som único. O som produzido é a soma de dois tons dados por: 

Onde l e h são a baixa e a alta frequência (ciclos por segundo) que se distribuem conforme se mostra na figura.

Por exemplo, se clicar na tecla 7, a baixa frequência é l = 852 ciclos por segundo e a alta frequência é  h = 1209 ciclos por segundo. O som emitido ao carregar na tecla 7 é assim, dado por:

Fontes : WWW.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm11/napl4.htm

             WWW.educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/circulo-trigonometrico.htm

             WWW.matfal.22web.net/trigonometria/curiosidades/curios_trig.htm

MATEMÁTICOS QUE SE DESTACARAM

• Hiparco de Nicéia

Hiparco foi um astrônomo, construtor, cartógrafo e matemático grego da escola de Alexandria nascido em 190 a.C. em Nicéia. Hoje é considerado o fundador da astronomia científica e também chamado de pai da trigonometria por ter sido o pioneiro na elaboração de uma tabela trigonométrica, com valores de uma série de ângulos, da divisão do círculo em 360 partes iguais (140 a. C.) e a divisão do grau em sessenta minutos de sessenta segundos. Inventou um dioptro especial (também chamado de Bastão de Tiago) que era uma régua graduada, com um guia e um cursor, usada para medir ângulos. Usou-a para medir o diâmetro aparente do Sol e da Lua, e determinou as coordenadas celestes das estrelas. Criou o primeiro astrolábio, instrumento usado para medir a distância angular de qualquer astro em relação ao horizonte (150 a. C.). Criou o sistema de localização pelo cálculo de longitude e latitude e dividiu em zonas climáticas o mundo habitado então conhecido. Para a cartografia, criou um método de projeção estereográfica.

Astrolábio

• Pitágoras de Samos

Pitágoras foi um filósofo e matemático grego que nasceu em Samos entre cerca de 571 a.C. e 570 a.C. Fundou uma escola de pensamento grego denominada em sua homenagem de pitagórica. Os pitagóricos interessavam-se pelo estudo das propriedades dos números. Segundo eles, o cosmo é regido por relações matemáticas. Evidências disso estariam no dia e noite, no alterar-se das estações e no movimento circular e perfeito das estrelas. Nessa cosmovisão também concluíram que a Terra é esférica, estrela entre as estrelas que se movem ao redor de um fogo central. Alguns pitagóricos chegaram até a falar da rotação da Terra sobre o eixo, mas a maior descoberta de Pitágoras ou dos seus discípulos deu-se no domínio da geometria e se refere às relações entre os lados do triângulo retângulo. A descoberta foi enunciada no Teorema de Pitágoras.

Um problema não solucionado na época de Pitágoras era determinar as relações entre os lados de um triângulo retângulo. Pitágoras provou que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. O primeiro número irracional a ser descoberto foi a raiz quadrada do número 2, que surgiu exatamente da aplicação do teorema de Pitágoras em um triângulo de catetos valendo um:

Os gregos não conheciam o símbolo da raiz quadrada e diziam simplesmente: "o número que multiplicado por si mesmo é 2". A partir da descoberta da raiz de 2 foram descobertos muitos outros números irracionais.

• Tales de Mileto

Tales de Mileto foi o primeiro filósofo ocidental de que se tem notícia. É apontado como um dos sete sábios da Grécia Antiga. Foi o primeiro a explicar o eclipse solar, ao verificar que a Lua é iluminada por esse astro. Os fatos geométricos cuja descoberta é atribuída a Tales são: a demonstração de que os ângulos da base dos triângulos isósceles são iguais; a demonstração do seguinte teorema: se dois triângulos tem dois ângulos e um lado respectivamente iguais, então são iguais; a demonstração de que todo diâmetro divide um círculo em duas partes iguais; a demonstração de que ao unir-se qualquer ponto de uma circunferência aos extremos de um diâmetro AB obtém-se um triângulo retângulo em C. Provavelmente, para demonstrar este teorema, Tales usou também o fato de que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a dois ângulos retos e chamou a atenção de seus conterrâneos para o fato de que se duas retas se cortam, então os ângulos opostos pelo vértice são iguais.

Fontes :   pt.wikipedia.org/wiki/Tales_de_Mileto
               pt.wikipedia.org/wiki/Pitágoras
               pt.wikipedia.org/wiki/Hiparco

ORIGEM DOS NOMES: SENO, COSSENO E TANGENTE

A palavra seno deriva se sinus, que é a tradução latina da palavra árabe jaib, que significa dobra, bolso ou prega de uma vestimenta. Isto não tem nada a ver com o conceito matemático de seno. A palavra árabe adequada, a que deveria ser traduzida, seria jiba, que significa a corda de um arco (de caça ou de guerra). Também existem outras explicações para a palavra seno. Uma delas é que se trata de abreviatura s. ins. (semi-corda inscrita).

Quanto ao termo tangente, ele tem significado claro, pois tgx = t/r, onde t é o segmento da tangente compreendido entre a extremidade do raio (um dos lados do ângulo é x) e o prolongamento do outro lado. A secante do ângulo x é definida pela formula secx = s/r, onde s é a hipotenusa do triangulo retângulo cujos catetos são o raio r e o segmento de tangente t. Como segmento de reta s corta o círculo (secare = cortar em latim), a denominação secante se justifica. Finalmente, cosseno, cotangente e cossecante é simplesmente o seno, a tangente e a secante do arco complementar. 

Fonte: WWW.fazendomatematica.com/2010/09/origem-das-palavras-seno-cosseno.html

PROBLEMAS QUE MOTIVARAM O SURGIMENTO DA TRIGONOMETRIA

Alguns problemas motivaram o surgimento da Trigonometria (do grego: trígono= triângulo e métron=medida), como a necessidade de determinar a posição de um navio em alto mar, o raio da Terra, a distância da Terra à Lua e o problema da "resolução de triângulos", que consiste em determinar os seis elementos de um triângulo (três lados e três ângulos) quando se conhece três deles. Os navegantes gregos, que por volta do século V A.C. já tinham absorvido boa parte dos conhecimentos astronômicos dos babilônios, foram os primeiros a formular o conceito de latitude. No entanto, para determinarmos a posição de um ponto no globo terrestre é necessário, além da latitude, que determina a posição Norte-Sul desse ponto, a determinação da sua longitude, que indica a direção Leste-Oeste.

Os Alexandrinos sabiam que um navegador poderia medir a longitude, transportando a bordo de seu navio um relógio preciso. O relógio, acertado para a hora local de Alexandria, indicaria ao navegador a hora naquela cidade, durante toda a sua viagem. Como a Terra descreve uma rotação completa (360º) em 24h, gira 15º, a cada hora. Assim, o navegador poderia determinar sua longitude em qualquer lugar do planeta, simplesmente pela leitura das horas do relógio, quando o sol incidisse diretamente sobre a sua cabeça. Sua longitude em relação a Alexandria seria o produto de 15º pela diferença, em horas, entre o meio dia e o tempo local de Alexandria, fornecido pelo relógio. Infelizmente, não havia relógios portáteis, à disposição dos alexandrinos, que fossem suficientemente precisos para manter um registro contínuo das horas, durante uma longa viagem. As dificuldades práticas para a determinação da longitude eram tão grandes, que este dado deixou de ser levado em consideração na prática da navegação durante um grande período.

O primeiro cálculo da circunferência da Terra foi realizado por Eratóstenes (250 a.C.), o bibliotecário de Alexandria. Seus cálculos dependiam do ângulo formado pela sombra do sol e pela vertical em dois pontos: um ao norte e outro ao sul. Eratóstenes sabia que Alexandria, ponto A na figura abaixo, ficava a 800 km da cidade hoje chamada de Assuã, ponto B e, portanto, esta era a medida do arco AB na figura. Ele também sabia que em 21 de junho, solstício de verão no hemisfério Norte, ao meio dia em Assuã, o sol incidia diretamente sobre as suas cabeças, junto à primeira catarata do Nilo. Portanto, seus raios formavam um ângulo de zero grau com a vertical, não produzindo sombra. No mesmo instante, os raios do sol formavam um ângulo de 71/2 graus com a vertical, em Alexandria. Devido a grande distância do sol, ao atingirem a Terra, os raios do sol poderiam ser considerados paralelos e, portanto, os ângulos AÔB e DÂS são iguais, conforme mostra a figura abaixo: 

Como o ângulo formado no centro da Terra pelas linhas que partiam de Assuã e de Alexandria, era igual a 7/12 graus, calcular o raio da Terra era equivalente a resolver a proporção apresentada na figura, uma vez que a circunferência inteira da Terra mede 360º. O raio da Terra pode ser estimado dividindo-se o comprimento da sua circunferência por 2π (aproximadamente igual a 6,28). Hiparco adotava para o raio da Terra o valor de 8800 km (o raio terrestre mede cerca de 6378 km). De posse desse valor, Hiparco tentou achar a distância da Terra à Lua da maneira descrita a seguir. Suponhamos que a Lua seja observada de dois pontos C e E, conforme mostra a figura abaixo:

Quando estiver diretamente sobre o ponto E, um observador em C vê a Lua nascer no horizonte. Conhecendo a localização dos pontos C e E, Hiparco estimou a medida do ângulo Â. Como a distância AC é igual ao raio da Terra, o problema de Hiparco era o seguinte: conhecidos um dos lados (8 800 km) de um triângulo retângulo e um de seus ângulos (Â), determinar a hipotenusa AB. Tal problema pode ser resolvido se observarmos que em triângulos retângulos semelhantes às razões, constantes, entre as medidas dos seus lados podem ser associadas aos seus ângulos. Estas razões são chamadas razões trigonométricas.

Fonte: WWW.coladaweb.com/matematica/trigonometria-(2)

 

INTRODUÇÃO

Há muito tempo busca-se um consenso quanto à definição do que é a matemática. No entanto, nas últimas décadas do século XX adotou-se uma definição que tem ampla aceitação entre os matemáticos: matemática é a ciência das regularidades (padrões). Segundo esta definição, o trabalho do matemático consiste em examinar padrões, tanto reais como imaginários, visuais ou mentais, formular cálculos e, por meio de deduções rigorosas a partir de definições, estabelecer novos resultados. Portanto, os matemáticos procuram regularidades nos números, no espaço, na ciência e na imaginação e formulam teorias com as quais tentam explicar as relações observadas. 

A Matemática é usada como uma ferramenta essencial em muitas áreas do conhecimento, tais como engenharia, medicina, física, química e biologia. O estudo de Matemática pura, ou seja, da matemática pela matemática, sem a preocupação com sua aplicabilidade, muitas vezes mostrou-se útil anos ou séculos adiante, como aconteceu com os estudos das cônicas ou da teoria dos números feitos pelos gregos, utilizados em descobertas sobre astronomia feitas por Kepler no século XVII, por exemplo, ou para o desenvolvimento de segurança em computadores nos dias de hoje.